Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают.
Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника.
Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.
Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении.
С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы.
Пусть a – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг a на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией.
Пусть, далее, p – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку A в точку B, такую, что p пересекает отрезок AB под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия.
Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой a, мы получим еще одну симметрию.
Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений.
Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке.
Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой a есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих a и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов.
Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.
Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника.
Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра.
Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий.
Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией.
Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии.
Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12.
Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий.
Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии.
Для наглядности полезно построить картонную модель правильного тетраэдра и убедиться, что тетраэдр действительно обладает 24 симметриями.
Время от времени, группа планет располагается таким образом, что если мы соединим точки планет прямыми линиями, то в результате получится симметричная фигура. Такие симметричные фигуры являются самыми интересными и выдающимися характеристиками любой карты.
Хирон, аспекты Золушки, супераспекты – все они важны, но всякий раз, когда в карте есть симметричная геометрия, она является ключом к пониманию карты и её фокусом.
Большой треугольник, гексагон (Звезда Давида), парус, большой секстиль (корзинка), золотой прямоугольник, большой квинконс и тройные параллели - примеры благоприятной симметричной геометрии. Любая из этих фигур состоит, прежде всего, из благоприятных аспектов. Самые сильные формы симметричной планетарной геометрии - Звезда Давида, большой треугольник в долготах или тройная параллель в склонениях.
Существуют, однако, две симметричные фигуры – Т-квадрат и большой квадрат, которые не столь благоприятны. Худшая планетарная геометрия – это геометрия негативных аспектов, и обе бурные симметричные фигуры состоят только из напряженных аспектов – квадратов и оппозиций.
Всякий раз, когда три планеты формируют T-квадрат, и всякий раз, когда четыре планеты формируют большой квадрат (который состоит из двух Т-квадратов), планеты находятся в дисгармонии.
Эти две фигуры являются самыми важными индикаторами несовместимости и проблем в комбинированных картах, а в картах выбора, картах событий и исторических картах они говорят об опасности, проблемах, возможной трагедии или войне.
Однако, в картах рождения людей, эти две фигуры все ещё говорят о способностях и талантах человека и не имеют негативного оттенка.