Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Симметрия

Главная

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Симметрия

Симметрия многогранников

Главная

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают.

Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника.

Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении.

С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы.

Пусть a – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг a на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией.

Пусть, далее, p – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку A в точку B, такую, что p пересекает отрезок AB под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия.

Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой a, мы получим еще одну симметрию.

Призма

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Симметрия

Симметрия многогранников

Главная

Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений.

Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке.

Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой a есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих a и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов.

Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника.

Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра.

Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий.

Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией.

Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии.

Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12.

Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий.

Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии.

Для наглядности полезно построить картонную модель правильного тетраэдра и убедиться, что тетраэдр действительно обладает 24 симметриями.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Симметрия

Симметрия в астрологии

Главная

Время от времени, группа планет располагается таким образом, что если мы соединим точки планет прямыми линиями, то в результате получится симметричная фигура. Такие симметричные фигуры являются самыми интересными и выдающимися характеристиками любой карты.

Хирон, аспекты Золушки, супераспекты – все они важны, но всякий раз, когда в карте есть симметричная геометрия, она является ключом к пониманию карты и её фокусом.

Большой треугольник, гексагон (Звезда Давида), парус, большой секстиль (корзинка), золотой прямоугольник, большой квинконс и тройные параллели - примеры благоприятной симметричной геометрии. Любая из этих фигур состоит, прежде всего, из благоприятных аспектов. Самые сильные формы симметричной планетарной геометрии - Звезда Давида, большой треугольник в долготах или тройная параллель в склонениях.

большой треугольник

большой треугольник

гексагон

гексагон

парус

парус

большой секстиль

большой секстиль

золотой прямоугольник

золотой прямоугольник

большой квинконс

большой квинконс

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Симметрия

Симметрия в астрологии

Главная

Существуют, однако, две симметричные фигуры – Т-квадрат и большой квадрат, которые не столь благоприятны. Худшая планетарная геометрия – это геометрия негативных аспектов, и обе бурные симметричные фигуры состоят только из напряженных аспектов – квадратов и оппозиций.

Всякий раз, когда три планеты формируют T-квадрат, и всякий раз, когда четыре планеты формируют большой квадрат (который состоит из двух Т-квадратов), планеты находятся в дисгармонии.

Эти две фигуры являются самыми важными индикаторами несовместимости и проблем в комбинированных картах, а в картах выбора, картах событий и исторических картах они говорят об опасности, проблемах, возможной трагедии или войне.

Однако, в картах рождения людей, эти две фигуры все ещё говорят о способностях и талантах человека и не имеют негативного оттенка.

Т-квадрат

Т-квадрат

большой квадрат

большой квадрат

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов