Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

Главная

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

Пример 1

Главная

На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение.

Рис. 14

В новой вкладке

1) Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2) Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3) Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.

4) Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллена BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

5) Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD'RB' - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

Пусть, например, требуется построить сечение многогранника плоскостью @, проходящей через заданную прямую р параллельную второй заданной прямой q. В общем случае решение этой задачи требует некоторых предварительных построений, которые можно выполнять по следующему плану:

1) Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой p проведем плоскость бетта.

Рис. 15

В новой вкладке

2) В плоскости бетта через точку W провем прямую q' параллельную q.

3) Пересекающимися прямыми p и q' определяется плоскость @. На этом предварительные построения заканчиваются и можно переходить к построению непосредственно сечения многогранника плоскостью @. В некоторых случаях особенности конкретной задачи позволяет осуществить и болле короткий план решения.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

На ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно точки P и Q. Потроим сечение пирамиды плоскостью @, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом:
а) на ребре MB;
б) она совпадает с точкой В;
в) в грани MAB.

Решение.

Рис. 16

В новой вкладке

1) Плоскость, проходящая через вторую прямую, то есть прямую AR, и точку Q, взятую на первой прямой, на изображении уже есть. Это плоскость MAB.

2) В плоскости MAB через точку Q проведем прямую QF параллельную AR.

3) Пересекающимися прямыми PQ и QF определяется плоскость @ (эта плоскость PQF) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов.

4) Точка B совпадает с точкой F' - проекцией точки F на плоскость ABC (из центра М), а точка A совпадает с точкой Q' - проекция точки Q на эту плоскость. Тогда точка S'=FQ F'Q' лежит на основном следе секущей плоскости @. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости, то прямая S'P - это основной след плоскости @, а отрезок S''P - след плоскости @ на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге получаем четырехугольник PFQS'' - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

На ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно точки P и Q. Потроим сечение пирамиды плоскостью @, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом:
а) на ребре MB;
б) она совпадает с точкой В;
в) в грани MAB.

Решение.

Рис. 17

В новой вкладке

1) Плоскость, проходящая через прямую AB и точку Р прямой PQ, на изображении уже построена. Это плоскость АВС. Продолжим построение по вышеизложенному плану.

2) В плоскости АВС через точку P проведем прямую PD, параллельную прямой AB.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PD определяется плоскость альфа (это плоскость PQD) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4) Ясно, что следом плоскости альфа на грани МАС является отрезок DQ.

5) Дальнейшие построения выполним, принимая во внимание следующие соображения. Так как прямая PD параллельна прямой AB, то прямая PD параллельна плоскости МАВ. Тогда плоскость альфа, проходящая через прямую PD, пересекает плоскость МАВ по прямой, параллельной прямой PD, то есть и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QE параллельную АВ. Отрезок QE - это след плоскости альфа на грани МАВ.

6) Соединим точку Р с точкой Е. Отрезок РЕ - это след плоскости альфа на грани МВС. Таким образом, четырехугольник PEQD - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

На ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно точки P и Q. Потроим сечение пирамиды плоскостью @, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом:
а) на ребре MB;
б) она совпадает с точкой В;
в) в грани MAB.

Решение.

Рис. 18

В новой вкладке

1) Через вторую прямую AR точку Q первой прямой проведем плоскость. Это плоскость MAR.

2) В плоскости MAR через точку Q проведем прямую QL параллельную AR.

3) Пересекающимися прямыми PQ и QL определяется плоскость альфа (это плоскость PQL) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов. Находим проекции точек Q и L на плоскость ABC. Ясно, что точка Q' совпадает с точкой А, а точка L' совпадает с R'=MR BC. Тогда точка S'=LQ L'Q' лежит на основном следе секущей плоскости альфа. Этим основным следом является прямая S'P, а следом плоскости альфа на грани АВС является отрезок S''P. Далее прямая PL - это след плоскости альфа на рлоскости МВС, а отрезок РN - след плоскости альфа на грани МВС. Итак, четырехугольник PS''QN - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

На диагоналях АС и C'E' оснований призмы ABCDEA'B'C'D'E' зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через прямую PQ параллельно одной из следующих прямых:
а) АВ;
б) АС';
в) BC'.

Решение.

Рис. 19

В новой вкладке

1) Плоскость. проходящая через прямую АВ - вторую заданную прямую и точку Р, взятую на первой прямой, уже построена. Это плоскость АВС.

2) В плоскости АВС через точку Р проведем прямую, параллельно прямой АВ, и найдем точки К и L, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые ВС и АЕ.

3) Пересекающимися прямыми PQ и KL определяется плоскость альфа (плоскость KLQ) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение, воспользовавшись, в частности, параллельностью оснований призмы.

4) Ясно, что прямая KL является основным следом плоскости альфа. Т. к. плоскости призмы параллельны между собой, то линии пересечения секущей плоскости альфа с плоскостями АВС и A'B'C' также параллельны между собой. Принимая во внимание, что KL параллельна AB и A'B' параллельна АВ, проведем в плоскости А'B'C' через точку Q прямую, параллельную прямой A'B', и найдем точки F и Т, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые C'D' и A'E'. Далее получаем отрезок TL - след плоскости альфа на грани AEE'A', точку S'=KL CD, прямую S'F - след плоскости альфа на плоскости CDD' , отрезок FC'' - след плоскости альфа на грани CDD'C' и, наконец, отрезок C''K - след плоскости альфа на грани BCC'B'. В итоге получаем многоугольник KLTFC'' - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

На диагоналях АС и C'E' оснований призмы ABCDEA'B'C'D'E' зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через прямую PQ параллельно одной из следующих прямых:
а) АВ;
б) АС';
в) BC'.

Решение.

Рис. 20

В новой вкладке

1) Проведем плоскость через прямую AC' - вторую заданную прямую, и точку Р, взятую на первой прямой. Это плоскость ACC'.

2) В плоскости ACC' через точку Р проведем прямую, параллельную прямой АС', и найдем точку C'', в которой эта прямая пересекает прямую CC'.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PC'' определяется плоскость альфа (плоскостьC''PQ) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение, например, методом следов. Одна точка, принадлежащая следу плоскости альфа на плоскость ABC, которую мы принимаем за основную, на чертеже уже есть. Это точка Р. Найдем еще одну точку этого следа.

4) Проекция точки C'' на плоскость АВС является точка С, а проекцией точки Q - точка Q' - точка пересечения прямой CE с прямой, проходящей в плоскости CEE' через точку Q параллельно прямой EE'. Точка S'=C''Q CQ' - это вторая точка основного следа плоскости альфа. Итак, основным следом плоскости альфа является прямая S'P. Она пересекает стороны ВС и АЕ основания призмы соответственно в точках S'' и S''' . Тогда отрезок S''S''' - след секущей плоскости альфа на грани ABCDE. А отрезок S''C'' - след плоскости альфа на грани BCC'B'. Нетрудно увидеть, что прямые C'' Q и EE' лежат в одной плоскости. Найдем точку E'' =С''Q EE'. Тогда ясно получение дальнейших следов плоскости альфа:S'''S'', S'''T, TF и FC''. В итоге получаем многоугольник S''S'''TFC'' - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

На диагоналях АС и C'E' оснований призмы ABCDEA'B'C'D'E' зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через прямую PQ параллельно одной из следующих прямых:
а) АВ;
б) АС';
в) BC'.

Решение.

Рис. 21

В новой вкладке

1) Через вторую заданную прямую - пряму BC' - и, например, через точку Р, лежащую на первой заданной прямой, поведем плоскость. Сделаем это методом следов. Легко устанавливается, что основным следом этой плоскости BC'P является рямая ВР. Затем находим точку S'=BP CD и след S'C' плоскости BC'P и плоскости CDD'.

2) В плоскости BC'P через точку Р проведем прямую, параллельную прямой BC'. Точку пересечения проведенной прямой с прямой S'C' обозначим V.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PV определяется плоскость альфа (плоскость PQV) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4) Находим точки Q' и V' - проекции соответственно точек Q и V на плоскость ABC, принимаемую нами за основную плоскость. Затем находим точку S''=QV Q'V'. Это одна из точек основного следа плоскости альфа. И еще одна точка этого следа уже есть. Это заданная точка Р. Итак, прямая S''P - основной след плоскости альфа, а полученный при этом отрезок S'''S'''' - след плоскости альфа на грани АВСDE. Дальнейший ход построения ясен: S'''''=S''P CD, S'''''V, точки C''=S'''''V CC' и F=S'''''V C'D', затем FQ и точка T=FQ A'E' и, наконец, TS''''. В итоге получаем многоугольник S'''C''FTS'''' - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

I. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой

Главная

На диагоналях АС и C'E' оснований призмы ABCDEA'B'C'D'E' зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через прямую PQ параллельно одной из следующих прямых:
а) АВ;
б) АС';
в) BC'.

Решение.

Рис. 22

В новой вкладке

Замечание: Наметим кратко ход решения примера 3,в, при котором на первой заданной прямой была взята точка Q, а не точка P (рисунок 22).

1) Строим плоскость BC'Q (это плоскость BC'E').

2) Плоскость BC'Q пересекает плоскость ABC по прямой BN параллельной C'E' (для построения можно воспользоваться тем, что BN параллельна СЕ).

3) В плоскости BC'Q через точку Q проводим прямую QM параллельную BC' (М=QM BN).

4) Строим сечение призмы плоскостью, определяемой пересекающимися прямыми PQ и QM. Это можно сделать в следующем порядке: MP, S'=MP AE и S''=МР ВС, S''''=MP CE, C''=S''''Q CC', S'''C'', F=S'''C'' C'D', FQ, T=FQ A'E', TS'.Многоугольник S''C''FTS'- искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

II. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Главная

Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку К параллельно двум заданным скрещивающимся прямым l и m. При решении задач этого вида можно применять следующий план построения:

1) Выберем некоторую точку W. (Эта точка может лежать на одной из заданных скрещивающихся прямых, может совпадать с точкой К.)

2) Через точку W проведем прямые l' и m'. (Естественно, если точка W лежит на одной из прямых, например на прямой l, то прямая l' совпадает с прямой l.)

3) Пересекающимися прямыми l' и m' определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения многогранника. Строим сечение многогранника плоскостью бетта.

4) Построим сечения многогранника плоскостью альфа, проходящей через точку K, параллельно плоскости бетта.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

II. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Главная

На ребрах AD и С'D' призмы ABCDA'В'С'D', зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD' зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых:
а) АВ;
б) А'В;
в) BR, точку R которой зададим на ребре A'D'.

Решение.

Рис. 23

В новой вкладке

1) Пусть точка W совпадает с точкой P.

2) В плоскости АВС через точку P проведем прямую, параллельную прямой АВ. Найдем точку Е, в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PE определяется плоскость бетта — плоскость вспомогательного сечения. Построим сечение призмы плоскостью бетта. Прямая PE является ее основным следом. Находим точку S, в которой прямая СD пересекается со следом PE. Затем строим прямую SQ — след плоскости бетта на плоскости CDD' и точки С'' и D'' — следы плоскости бетта соответственно на прямых СС' и DD'. Затем строим прямую D''Р и получаем точку F на ребре А'D'. Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта является многоугольник РЕС''QF.

4) Строим теперь сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

II. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Главная

На ребрах AD и С'D' призмы ABCDA'В'С'D', зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD' зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых:
а) АВ;
б) А'В;
в) BR, точку R которой зададим на ребре A'D'.

Решение.

Рис. 24

В новой вкладке

1) Пусть точка W совпадает с точкой Q. Чтобы через точку Q провести прямую, параллельную прямой А'В, сначала через прямую А'В и точку Q проведем плоскость гамма. Сделаем это так. Найдем точку Q' — проекцию точки Q на плоскость АВС и проведем прямую AQ'. Ясно, что AQ' параллельно A'Q. Теперь через точку В в плоскости АВС проведем прямую l' параллельно AQ'. Пересекающимися прямыми А'В и l' определяется плоскость гамма. В плоскости гамма через точку Q проведем прямую l'' параллельно A'В.

2) Пересекающимися прямыми PQ и l'', определяется плоскость бетта — плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Находим для этого точку S'=l' пересекается l'', а затем прямую PS' — основной след плоскости бетта. Находим далее точку s''=PS' пересекается CD и проводим прямую S''Q — след плоскости бетта на плоскости CDD'. Получаем точку D'' — след плоскости бетта на прямой DD'. Точка D'' и точка Р лежат в плоскости ADD'. Поэтому прямая PD''— след плоскости бетта на плоскости АDD', а отрезок PF — след плоскости бетта на грани ADD'A'. Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта является четырехугольник РS''QF. (Обратите внимание: QF параллельно PS''. И это, естественно, так. Ведь основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Этим обстоятельством можно было воспользоваться при построении сечения призмы плоскостью бетта.)

3) Теперь строим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. Это построение выполнить уже несложно. В итоге получаем треугольник KLN — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

II. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Главная

На ребрах AD и С'D' призмы ABCDA'В'С'D', зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD' зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых:
а) АВ;
б) А'В;
в) BR, точку R которой зададим на ребре A'D'.

Решение.

Рис. 25

В новой вкладке

1) В качестве точки W выберем точку Q.

2) Через прямую BR и точку Q проведем плоскость гамма. Плоскость гамма пересекает плоскость АВС по прямой l' параллельно QR. Для построения прямой l' строим точки R' и Q' — проекции соответственно точек R и Q на плоскость АВС — и проводим прямую Q'R', а затем в плоскости АВС через точку В проводим прямую l' параллельно Q'R'. В плоскости гамма через точку Q проводим прямую l'' параллельно BR. Получим точку S'=l' пересекается l''.

3) Пересекающимися прямыми PQ и l'' определяется плоскость бетта — плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим зто сечение. Ясно, что прямая PS' является основным следом плоскости бетта. Находим далее точки S''= PS' пересекается CD, S'''= РS' пересекается BC и C'' = QS'' пересекается CC'. Получим отрезки РS''', S'''C'' и C''Q— следы плоскости бетта соответственно на гранях ABCD, ВСС'В и CDD'С'. Далее либо проведем в плоскости А'В'С' прямую, параллельную следу PS', и получим точку F, либо найдем точку D''=S''Q пересекается DD' и проведем прямую D''Р. Эта прямая пересечет прямую А'D' в точке F. Получаем, таким образом, еще два следа плоскости бетта: QF н FP.Итак, многоугольник PS'''C''QF — сечение призмы плоскостью бетта.

4) Теперь построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

II. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Главная

На ребрах МВ и МА пирамиды МАВСD зададим соответственно точки Р и К, и на отрезке АС зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых:
а) CD;
б) МС;
в) RV, точки R и V которой зададим соответственно на ребрах АВ и МС пирамиды.

Решение.

Рис. 26

В новой вкладке

1) В плоскости ABC через точку Q проведем прямую, параллельную прямой CD, и найдем точки S', S'' и S''', в которых эта прямая пересекает соответственно прямые BC, АD и АВ.

2) Пересекающимися прямыми PQ и S'S'' определяется плоскость бетта — плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Основным следом плоскости бетта является прямая S'S''. Отрезок PS' — след плоскости бетта на грани МВС, прямая PS''' — ее след на плоскости МАВ, отрезок PA' — на грани МАВ, отрезок А'S''— на грани MAD.

3) Строим далее сечение пирамиды плоскостью @, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем многоугольник КВ'C'D' — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

II. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Главная

На ребрах МВ и МА пирамиды МАВСD зададим соответственно точки Р и К, и на отрезке АС зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых:
а) CD;
б) МС;
в) RV, точки R и V которой зададим соответственно на ребрах АВ и МС пирамиды.

Решение.

Рис. 27

В новой вкладке

1) В плоскости МАС через точку Q проведем прямую QA параллельно MC.

2) Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, которая определяется пересекающимися прямыми PQ и QA'. С этой целью найдем точку S'=PA' пересекается АВ, проведем прямую S'Q, являющуюся основным следом плоскости PQA', получим точки S''=S'Q пересекается AD и S'''=S'Q пересекается BC и соединим точку А' с точкой S'', а точку P с точкой S'''. Четырехугольник PA'S''S''' — это вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и МС, но не проходит через точку К.

3) Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости PQA'. В итоге получаем четырехугольник В'KFE — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Комбинированный метод

II. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Главная

На ребрах МВ и МА пирамиды МАВСD зададим соответственно точки Р и К, и на отрезке АС зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых:
а) CD;
б) МС;
в) RV, точки R и V которой зададим соответственно на ребрах АВ и МС пирамиды.

Решение.

Рис. 28

В новой вкладке

Выполним построение заданного сечения пирамиды, построив сначала вспомогательное сечение ее плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельно прямой RV.

1) Построим точку S'=PV пересекается BC и проведем прямую S'R.

2) Пересекающимися прямыми S'V и S'R определяется плоскость. В этой плоскости через точку Р проведем прямую PS'' параллельно RV.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PS'' определяется плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Находим последовательно прямую S''Q — основной след плоскости вспомогательного сечения, затем точки Т'=S''Q пересекается ВС, Т''=S''Q пересекается АB и Т'''=S''Q пересекается CD. Проведем далее прямую Т'P и найдем точку Е= Т'P пересекается 'MC. Точку P соединим с точкой Т'', а точку Е — с Т'''. Четырехугольник PT''Т'''Е — вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и RV, но не проходит через точку К. Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости вспомогательного сечения. В итоге получаем четырехугольник КВ'С'D' — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов