Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Главная

Аксиоматический метод построения сечений многогранников делится на:

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод следов

Главная

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ'С';
б) А'В'С';
в) АВС.

Решение.

Рис. 1

В новой вкладке

1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС'). (рис.1)

2) Находим точки В'' и С', в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ' и СС'. Точки В' и С' - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ' и СС'.

3) Так как точки В'' и Р лежат в плоскости (АВВ'), то прямая В''Р лежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок В''Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

4) Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС'), то прямая РС'' лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

5) Находим точку V, в которой прямая РС'' пересекает ребро А'С'. Это след плоскости (PQR) на ребре А'С'.

6) Так как точки Q и V лежат в плоскости (А'В'С'), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС. Итак, мы получили многоугольник QB''PV - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод следов

Главная

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ'С';
б) А'В'С';
в) АВС.

Решение.

Рис. 2

В новой вкладке

1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (А'В'С'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А'В'С'). (Рис.2)

2) Находим точки D' и Е', в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А'В' и B'С'. Так как точка D' лежит на ребре А'В', отрезок QD' - след плоскости (PQR) на грани А'В'С'.

3) Так как точки D' и P лежат в плоскости (АВВ'), то прямая D'P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ'), а отрезок D'P - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

4) Так как точки Р и Е' лежат в плоскости (АСС'), то в этойплоскости лежит прямая РЕ'. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

5) Находим точку С''=PE''CC'. Так как точка С'' лежит на ребре СС', то отрезок РС'' - это след плоскости (PQR) на грани АСС'А'.

6) Так как точки Q и С'' лежат в плоскости (ВСС'), то прямая QC'' лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС'), а отрезок QC''- след плоскости (PQR) на грани ВСС'В'. Итак, мы получили многоугольник QD'РС'' - это и есть искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод следов

Главная

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ'С';
б) А'В'С';
в) АВС.

Решение.

Рис. 3

В новой вкладке

1) Из трех заданных точек Р, Q и R никакие две не лежат в какой-нибудь одной из плоскостей граней призмы, поэтому найдем основной след плоскости (PQR) (т. е. линию пересечения плоскости (PQR) с плоскостью (АВС), выбранной в качестве основной). Для этого сначала найдем проекции точек Р, Q и R на плоскость (АВС) в направлении, параллельном боковому ребру призмы. Так как точка Р лежит на ребре АА', то точка Р' совпадает с точкой А. Так как точка Q лежит в плоскости (ВСС'), то в этой плоскости через точку Q проведем прямую, параллельную прямой ВВ', и найдем точку Q', в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС. Так как точка R по условию лежит в плоскости, выбранной в качестве основной, то точка R' совпадает с точкой R. (Рис.3)

2) Параллельными прямыми РР' и QQ' определяется плоскость. Проведем в этой плоскости прямые PQ и Р'Q' и найдем точку S=PQ пересекает P'Q'. Так как точка S' лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости (PQR), и так как точка S' лежит на прямой Р'Q', то она лежит в плоскости (АВС). Таким образом, точка S' является общей точкой плоскостей (PQR) и (АВС). Это значит, что плоскости (PQR) и (АВС) пересекаются по прямой, проходящей через точку S'.

3) Так как точка R совпадает с точкой R', то точка R - это еще одна общая точка плоскостей (PQR) и (АВС). Таким образом, прямая S'R - основной след плоскости (PQR). Проведем эту прямую. Как видим нз рисунка, прямая S'R пересекает ребра АВ и ВС основания призмы соответственно в точках S''и S'''.

4) Так как точки S''' и Q лежат в плоскости (ВСС'), то прямая S''' Q лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС'). А отрезок S''' Q, - след плоскости (PQR) на грани ВСС'В'.

5) Аналогично находим отрезок S'' Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

6) Находим далее точку С = S''' Q СС'. Так как точки С'' и Р лежат в плоскости (АСС'), то прямая С''Р лежит в плоскости (АСС'). Проведем эту прямую, являющуюся следом плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

7) Находим точку F=PC'' пересекает A'С' и получаем затем отрезок PF - след плоскости (PQR) на грани АСС'А'.

8) Точки Q и F лежат в плоскости А'В'C', поэтому прямая QF лежит в плоскости (А'В'C'). Проведем прямую QF, получим отрезок QF - след плоскости (PQR) на грани А'В'C'. Итак, мы получили многоугольник QS'''S''PF- искомое сечение.

3 а м е ч а н и е. Покажем другой путь нахождения точки С'', при котором не находим точку пересечения прямой S''' Q с прямой С'С''. Будем рассуждать следующим образом. Если следом плоскости (PQR) на прямой СС' является некоторая точка V, то ее проекция на плоскость (АВС) совпадает с точкой С. Тогда точка S''''= V'P'пересекает VP лежит на основном следе S'R плоскости (PQR). Строим зту точку S'''' как точку пересечения прямых V'P' (это прямая СА) и S'R. А далее проводим прямую S''''Р. Она пересекает прямую СС' в точке V.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод следов

Главная

На ребре МВ пирамиды МАВСD зададим точку Р, на ее грани MCD зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью (PQR), точку R которой зададим:
а) на ребре МС;
б) на грани МАD;
в) в плоскости (МАС), вне пирамиды.

Решение.

Рис. 4

В новой вкладке

Cледом плоскости (PQR) на грани МВС является отрезок РR, а ее следом на грани MCD является отрезок RD', где точка D' - это точка пересечения прямой RQ с ребром МD. Ясно, что плоскость (PQR) имеет следы на гранях MAD и МАВ (так как с этими гранями плоскость (PQR) имеет общие точки). Найдем след плоскости (PQR) на прямой МА. Сделаем это следующим образом:

1) Построим точки Р', Q' и R' - проекции точек Р, Q и R из центра М на плоскость (АВС), принимаемую, таким образом, за основную плоскость. (Рис. 4)

2) Далее построим точки S'= РQ пересекает Р'Q' и S'' = PR пересекает P'R' и проведем прямую S' S'' - основной след плоскости (PQR).

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в некоторой точке V, то точка V' совпадает с точкой А и точка S'''= VQ пересекает V'Q' лежит на прямой S' S''. Другими словами, в точке S''' пересекаются три прямые: VQ,, V'Q'' и S' S''. Две последние прямые из этих трех на чертеже уже есть. Поэтому точку S''' мы построим как точку пересечения прямых V'Q' и SS''.

4) Проведем прямую QS''' (она совпадает с прямой VQ, так как прямая VQ должна проходить через точку S''', т. е. точки V, Q и S''' лежат на одной прямой).

5) Находим точку V, в которой прямая QS'''пересекает прямую МА, Точка V - это след плоскости (PQR) на ребре МА. Далее ясно, что отрезки PV и VD' - следы плоскости (PQR) соответственно на гранях МАВ и MAD. Таким образом, многоугольник PRD'V - искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод следов

Главная

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ'С';
б) А'В'С';
в) АВС.

Решение.

Рис. 5

В новой вкладке

1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P', Q' и R' — проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость (АВС). Центром этого внутреннего проектирования является точка М. (Рис.5)

2) Строим прямую S'S'' — основной след плоскости (PQR).

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в точке V, то точка V' — проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М— совпадает с точкой А, а прямые S'S'', V'R' и прямая VR, точка V которой пока нами не построена, пересекаются в точке S'''. Находим эту точку S'''=V'R' пересекается S'S'' .

(См. рис.6>>)

4) Проводим прямую RS''', и находим точку V=RS''' пересекается MA. Дальнейшее построение ясно. Искомым сечением является многоугольник PVD'Т.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод следов

Главная

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ'С';
б) А'В'С';
в) АВС.

Решение.

Рис. 6

В новой вкладке

Пусть точка R расположена в плоскости (МАС) так, как это показано на рисунке 6.

1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P', Q' и R' — проекции соответственно точек P, Q и R на плоскость (ABC). (центром проектирования является точка М.)

2) Строим прямую S'S'', — основной след плоскости (PQR).

3) Находим точку V — след плоскости (PQR) на прямой МА. Точка V' — проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М— совпадает в этом случае с точкой А.

4) Находим точку S'''= P'V' пересекается S'S'', а затем и точку V =PS''' пересекается МА.

Рис. 7

В новой вкладке

5) Получаем след РV плоскости (PQR) на плоскости (МАВ).

6) Находим точку T — след плоскости (PQR) на прямой МО. Ясно, что точка Т' в этом случае совпадает с точкой D. Для построения точки T строим точку S''''=Q'T' пересекается S'S'', а затем точку T=QS''''пересекается MT'.

7) Совокупность следов PV, VT, ТС', и С'P, т. е. многоугольник PVTC' — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод вспомогательных сечений

Пример 3
Главная

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются „скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

На ребрах ВВ' и D'E' призмы ABCDEA'В'С'D'Е' зададим соответственно точки Р и Q. Построим сечение призмы плоскостью PQR, точку R которой зададим:
а) на ребре АА';
б) на грани АЕЕ'А';
в) на грани АВСDЕ.

Решение.

Рис. 7

В новой вкладке

(Рис. 7.) Ясно, что отрезок PR — это след плоскости PQR на грани АВВ'А'. Проиллюстрируем теперь идею построения сечения заданной призмы, находя след плоскости PQR, например, на прямой DD''.

1) Примем плоскость АВС за основную плоскость и построим проекции на эту плоскость точек Р, R и Q (естественно, в направлении, параллельном боковому ребру призмы). Получаем точку P' (совпадающую с точкой В), точку R' (совпадающую с точкой А) и точку Q' — точку пересечения прямой DE с прямой, проходящей через точку Q параллельно прямой DD'.

Рис. 8

В новой вкладке

2) Параллельными прямыми РР' и QQ' определяется плоскость бетта 1. Строим сечение призмы плоскостью бетта 1. Это — первое вспомогательное сечение.

3) Параллельными прямыми RR' и DD' определяется плоскость бетта 2. Строим сечение призмы плоскостью бетта 2. Это — второе вспомогательное сечение. (Отметим, что прямая DD', выбрана нами потому, что мы решили найти след плоскости PQR именно на этой прямой.)

4) Строим линию пересечения плоскостей бетта 1 и бетта 2. Это прямая FF', где точка F=P'Q'пересекается AD и точка F'=B'Q пересекается A'D'.

5) В плоскости бетта 1 проводим прямую PQ и находим точку F''=PQ пересекается FF'. Так как точка F'' лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости PQR. Тогда прямая RF'' лежит в плоскости PQR.

6) Проводим прямую RF'' и находим точку D''=RF'' пересекается DD'. Так как точка D'', лежит на прямой RF'' то она лежит в плоскости PQR, т. е. точка '' — это и есть след плоскости PQR на прямой DD'. Дальнейшие построения можно выполнить следующим образом:

7) Проводим прямую D''Q. Это след плоскости PQR на плоскости DEE'. На прямой EE', получаем точку Е''=D''Q пересекается EE'. Отрезок QE'' — это след плоскости PQR на грани DEE'D'.

8) Проводим прямую RE''. Отрезок RE'' — это след плоскости PQR на грани АЕЕ'А'. Для построения искомого сечения найдем еще след плоскости PQR на прямой СС'. Сделаем это также методом вспомогательных сечений. А именно:

Рис. 9

В новой вкладке

9) Параллельными прямыми RR' и CC' определяется плоскость бетта 3. Строим сечение призмы плоскостью бетта 3. Это — третье вспомогательное сечение. Находим линию пересечения плоскостей бетта 1 и бетта 3. Это прямая КК', где точка К=R'C пересекается Р'Q' и точка K'=А'С' пересекается B'Q. Находим точку K''= PQ пересекается KK'. Проводим далее прямую RК'' и находим точку С'' =RK'' пересекается СС'.

10) Проводим прямые РС'' и С''D''. Получаем отрезки РC'', C''L и затем LQ — следы плоскости PQR соответственно на гранях BCC'В', CDD'С' и А'В'С'D'Е'. Совокупность построенных следов плоскости PQR на гранях призмы образует многоугольник PRE''QLC'', который и является искомым сечением.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод вспомогательных сечений

Пример 3
Главная

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются „скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

На ребрах ВВ' и D'E' призмы ABCDEA'В'С'D'Е' зададим соответственно точки Р и Q. Построим сечение призмы плоскостью PQR, точку R которой зададим:
а) на ребре АА';
б) на грани АЕЕ'А';
в) на грани АВСDЕ.

Решение.

Рис. 8

В новой вкладке

(Рис.8.) Как в пункте а), находим точки Р', Q' и R'. Затем строим вспомогательные сечения призмы плоскостями бетта 1 и бетта 2, прямую FF' — линию пересечения плоскостей бетта 1 и бетта 2, точку F''=PQ пересекается FF', прямую RF'' и находим точку D''. Далее, опять как в пункте а), строим вспомогательное сечение призмы плоскостью бетта 3, определяемой параллельными прямыми RR' и СС', строим прямую КК', по которой пересекаются плоскости бетта 1 и рбетта 3 и т. д. В итоге получаем сечение РА''NQD''C''.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Построение сечений

Аксиоматический метод

Метод вспомогательных сечений

Пример 3
Главная

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются „скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

На ребрах ВВ' и D'E' призмы ABCDEA'В'С'D'Е' зададим соответственно точки Р и Q. Построим сечение призмы плоскостью PQR, точку R которой зададим:
а) на ребре АА';
б) на грани АЕЕ'А';
в) на грани АВСDЕ.

Решение.

Рис. 9

В новой вкладке

(Рис. 9.) Как в пунктах а) и б), строим точки Р', Q' и R'. Затем строим вспомогательные сечения призмы плоскостями бетта 1 и бетта 2, находим линию пересечения этих плоскостей и т. д. Отметим только, что плоскость бетта 2 определяется здесь не парой параллельных прямых, а прямой DD' и точкой R', Плоскость бетта 3 также определяется прямой и точкой (CC' и R), Построение следа плоскости PQR на плоскости ABC видно из рисунка 9. Многоугольник PMQE''S''S''' — искомое сечение.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов