Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Главная

В этом разделе собраны основные формулы для нахождения объёмов и поверхностей тел, математические обозначения и основные определения, используемые в справочнике.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Объёмы и поверхности тел

Главная
Обозначения

V – объём;
S – площадь основания;
Sбок – площадь боковой поверхности;
P – полная поверхность;
h – высота;
a, b, c – размеры прямоугольного параллелепипеда;
A – апофема правильной пирамиды и правильной усечённой пирамиды;
L – образующая конуса;
p – периметр или длина окружности основания;
r – радиус основания;
d – диаметр основания;
R – радиус шара;
D – диаметр шара;
π – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра;

индексы 1 и 2 относятся к радиусам, диаметрам, периметрам и площадям верхнего и нижнего оснований усечённой призмы и пирамиды.

Призма (прямая и наклонная) и параллелепипед:

V = Sh .

Прямая призма:

Sбок = ph.

Прямоугольный параллелепипед:

V = abc ;   P = 2 ( ab + bc + ab ) .

Куб:

V = a3 ;   P = 6a2 .

Пирамида (правильная и неправильная):

V = 13 Sh .

Правильная пирамида:

S = 12 pA .

Усечённая пирамида (правильная и неправильная):

V = 13 ( S1 + √( S1 S2 ) + S2 ) h .

Правильная усечённая пирамида:

S = 12 ( p1 + p2 ) h .

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Объёмы и поверхности тел

Главная
Обозначения

V – объём;
S – площадь основания;
Sбок – площадь боковой поверхности;
P – полная поверхность;
h – высота;
a, b, c – размеры прямоугольного параллелепипеда;
A – апофема правильной пирамиды и правильной усечённой пирамиды;
L – образующая конуса;
p – периметр или длина окружности основания;
r – радиус основания;
d – диаметр основания;
R – радиус шара;
D – диаметр шара;
π – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра;

индексы 1 и 2 относятся к радиусам, диаметрам, периметрам и площадям верхнего и нижнего оснований усечённой призмы и пирамиды.

Круговой цилиндр (прямой и наклонный):

V = Sh = π r 2 h = 14 π d 2 h .

Круглый цилиндр:

S = 2 π r h = π d h .

Круговой конус (круглый и наклонный):

V = 13 Sh = 13 π r 2 h =  1 12 π d 2 h .

Круглый конус:

S = 12 p L = π r L = 12 π d L .

Усечённый круговой конус (круглый и наклонный):

V = 13 π h ( r12 + ( r1 r2 ) + r22 ) =  1 12 π h ( d12 + ( d1 d2 ) + d22 ) .

Усечённый круглый конус:

S = π ( r1 + r2 ) L = 12 π ( d1 + d2 ) L .

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Объёмы и поверхности тел

Главная
Обозначения

V – объём;
S – площадь основания;
Sбок – площадь боковой поверхности;
P – полная поверхность;
h – высота;
a, b, c – размеры прямоугольного параллелепипеда;
A – апофема правильной пирамиды и правильной усечённой пирамиды;
L – образующая конуса;
p – периметр или длина окружности основания;
r – радиус основания;
d – диаметр основания;
R – радиус шара;
D – диаметр шара;
π – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра;

индексы 1 и 2 относятся к радиусам, диаметрам, периметрам и площадям верхнего и нижнего оснований усечённой призмы и пирамиды.

Шар:

V = 43 π R 3 = 16 π D 3 ;
P = 4 π R 2 = π D 2 .

Полушарие:

V = 23 π R 3 =  1 12 π D 3 ;
S = π R 2 = 14 π D 2 ;
S = 2 π R 2 = 12 π D 2 ;
P = 3 π R 2 = 34 π D 2 .

Шаровой сегмент:

V = π h 2 ( R - h3 ) = π h  6   ( h2 + 3 r2 ) ;
S = 2 π R h 2 = π ( r2 + h2 ) ;
P = π ( 2 r2 + h2 ) .

Шаровой слой:

V = 16 π h 3 + 12 π ( r1 + r2 ) h ;
S = 2 π R h .

Шаровой сектор:

V = 23 π R h * , здесь h * – высота сегмента, содержащегося в секторе.

Полый шар:

V = 43 π ( R13 - R23 ) = 16 π ( D13 - D23 ) ;
P = 4 π ( R12 + R22 ) = π ( D12 + D22 ) .
Здесь R1 , R2 , D1 , D2 – радиусы и диаметры внешней и внутренней сферических поверхностей.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Перечень математических обозначений

Главная

≡   –   тождественно равно,

≅, ≈   –   приблизительно равно,

∼   –   приблизительно,

0.(12345)   –   периодическая десятичная дробь с периодом 12345,

N   –   множество натуральных чисел,

Z   –   множество целых чисел,

R   –   множество действительных чисел,

∅   –   пустое множество,

∞   –   знак бесконечности,

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Перечень математических обозначений

Главная

xX   –   элемент x принадлежит множеству X,

xX   –   элемент x не принадлежит множеству X,

XY   –   множество X является подмножеством множества Y,

XY   –   объединение множеств X и Y,

XY   –   пересечение множеств X и Y,

XY   –   симметричная разность множеств X и Y,

{ un }   –   последовательность с общим членом un ,

[ a, b ]   –   числовой отрезок,

[ a, b )
( a, b ]
}   –   числовые полуотрезки (полуинтервалы),

( a, b )   –   числовой интервал,

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Перечень математических обозначений

Главная

( a, b )   –   скалярное произведение векторов a и b,

[ a, b ]   –   векторное произведение векторов a и b,

==>   –   следует,

<=>   –   равносильно,

⊥   –   перпендикулярно,

∥   –   параллельно,

ABC   –   треугольник ABC,

tg, ctg   –   соответственно тангенс и котангенс,

arctg, arcctg   –   соответственно арктангенс и арккотангенс,

ƒ , ƒ '   –   функция и её производная.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Словарик терминов

Главная

Геометрия (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю) - одна из математических наук, занимающаяся изучением пространственных величин; делится на лонгиметрию (о линиях), планиметрию или Г. на плоскости и (об углах, параллельных линиях, фигурах: треугольниках и многоугольниках и подобии фигур, о круге и об измерении площадей фигур и др.) и стереометрию или Геометрия в пространстве (о свойствах геометрических тел, многогранников: призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара). Обе части образуют элементарную или евклидову Геометрию, разработанную еще древними (Пифагор).

Планиметрия (от лат. planum - плоскость и metreo - мерю) - часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. Обычно под П. понимают часть курса геометрии в средней школе. Содержание П. и способ её изложения были установлены древнегреческим учёным Евклидом (III в. до н. э.).

Стереометрия (от стерео... и metreo - мерю) - часть элементарной геометрии, в которой изучаются пространственные фигуры, в противоположность планиметрии, где рассматриваются фигуры, лежащие в плоскости.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов
Назад

Справочник по геометрии для учащихся 10-х классов

Справка

Словарик терминов

Главная

Плоскость - поверхность, положение которой определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой и совпадающими с этой поверхностью.

Ещё

Одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие „П.” обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства П.: 1) П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. 2) П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Многогранник - геометрическое тело, ограниченное n-плоскостями.

Ещё

Многогранник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, - к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - рёбрами, а их вершины - вершинами М. М. называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый М. разрезает пространство на две части - внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М. - выпуклый.

Многоугольник - замкнутая ломаная линия.

Ещё

Подробнее, М. - линия, которая получается, если взять n любых точек A1, A2, ..., An и соединить прямолинейным отрезком каждую из них с последующей, а последнюю - с первой. Точки A1, A2, ..., An называются вершинами М., а отрезки A1A2, А2А3, ..., An-1An, AnA1 - его сторонами. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать, причём точки самопересечения могут не быть его вершинами. Существуют и другие точки зрения на то, что считать М. Многоугольником можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. М. в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости, т. е. такой М. может иметь „многоугольные дыры”. Рассматриваются также бесконечные М. - части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.

Сечение - фигура, образующаяся в месте пересечения какого-либо тела плоскостью.

Полная версия

2011-2018 © Илья Сафонов